T-Test für Mittelwertunterschiede zwischen zwei unabhängigen Stichproben

Testproblem: Es wird ein kontinuierliches Merkmal untersucht. Dabei soll geprüft werden, ob sich die arithmethischen Mittel dieses Merkmals in zwei Stichproben signifikant unterscheiden. Beispiel

Testvoraussetzungen: a) unabhängige Zufallsstichproben, b) Varianzhomogenität, c) Normalverteilung des untersuchten Merkmals in beiden Grundgesamtheiten (alternativ: große Stichproben, vgl. zentraler Grenzwertsatz), d) kleiner Auswahlsatz bzw. große Grundgesamtheiten (s. Anmerkung 2 unten).

Stichprobe

Bevor Sie mit dem Hypothesentest beginnen, tragen Sie die Auswertungsergebnisse für Ihre beiden Stichproben in die folgende Tabelle ein.



 Stichprobe 1Stichprobe 2
Stichprobenumfangn1 = n2 =
Arithmetisches Mittely-quer1 = y-quer2 =
Standardabweichungs1 = s2 =

Hypothesentest

  1. Aufstellung von Null- und Alternativhypothese, Festlegung des Signifikanzniveaus

    • Nullhypothese H0

      Welche Mittelwertdifferenz (μ12) wird zwischen den beiden Grundgesamtheiten 1 und 2 angenommen, aus denen die beiden Stichproben ausgewählt wurden?

      μ12 =   

    • Alternativhypothese HA

      Welche alternative Annahme liegt für die Mittelwertdifferenz vor? Bitte kreuzen Sie die entsprechende Alternativhypothese an:

      zweiseitige HA einseitige HA (links) einseitige HA (rechts)
      μ12 μ12 < μ12 >

      Anmerkung: Im Falle einer einseitigen Alternativhypothese muß als Nullhypothese auch eine Bereichshypothese spezifiziert werden (z.B. bei rechtsseitiger HA lautet H0: μ12 ≤ o.g. Wert), damit der gesamte Wertebereich der Prüfgröße durch Null- und Alternativhypothese abgedeckt wird. Die Testverteilung wird gleichwohl an der oben unter H0 spezifizierten Stelle aufgesetzt.

    • Irrtumswahrscheinlichkeit

      Wie groß soll die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art sein?

      Irrtumswahrscheinlichkeit α =    

  2. Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung ihrer Testverteilung

    Die Prüfgröße T berechnet sich wie folgt:

    t-Test

    Die Prüfgröße ist T-verteilt mit df = (n1 + n2 - 2) Freiheitsgraden. In der Formel entspricht Standardfehler Mittelwertdifferenz dem Standardfehler der Mittelwertdifferenz, der sich wie folgt berechnet:

  3. Bestimmung des kritischen Wertes tc und des Ablehnungsbereichs

    Zur Berechnung des kritischen Wertes wird auf die T-Verteilung mit df = (n1 + n2 - 2) Freiheitsgraden zurückgegriffen, und zwar nach folgenden Regeln:

    • zweiseitige HA: W(T ≤ tcu) = α/2 bzw. W(T ≤ tco) = 1-α/2
    • einseitige HA (links): W(T ≤ tcu) = α
    • einseitige HA (rechts): W(T ≤ tco) = 1-α

    Klicken Sie auf den entsprechenden Button, der zu der von Ihnen gewählten Alternativhypothese paßt. Der kritische Wert tc gehört jeweils noch zum Annahmebereich.


    Ablehnungsbereich
    für zweiseitige HA

    Ablehnungsbereich
    für einseitige HA (links)

    Ablehnungsbereich
    für einseitige HA (rechts)
    von -∞ bis tcu =
    und
    von tc o = bis +∞
    von -∞ bis tcu = von tco = bis +∞

    Anmerkung: Statt den kritischen Wert tc mit diesem Formular zu berechnen, können Sie ihn natürlich auch in einer Tabelle der T-Verteilung nachschauen.

  4. Bestimmung der Prüfgröße T für die beiden Stichproben

    Nach der unter Schritt 2 angegebenen Formel der Wert der Prüfgröße in der Stichprobe: t = .

  5. Entscheidung und Interpretation

    Wenn der für die Stichprobe berechnete Wert der Prüfgröße in den jeweiligen Ablehnungsbereich fällt, wird die Nullhypothese mit der o.g. Irrtumswahrscheinlichkeit verworfen. Andernfalls wird die Nullhypothese angenommen.

Implizite Signifikanz der Prüfgröße

Die Wahrscheinlichkeit, daß ein größerer als der in Schritt 4 berechnete Wert der Prüfgröße auftritt, : W(T>t) = .

Anhand dieser Überschreitungswahrscheinlichkeit (auch implizite Signifikanz genannt) kann man ebenfalls den Hypothesentest entscheiden. Allerdings ist zu beachten, ob man eine einseitige oder eine zweiseitige Alternativhypothese verwendet.

Anmerkungen

  1. Benutzen Sie bei der Eingabe einer Dezimalzahl einen Dezimalpunkt statt eines Dezimalkommas.
  2. Bei allen Berechnungen wird davon ausgegangen, daß der Auswahlsatz der Stichproben so klein ist (n/N < 0,05), daß näherungsweise vom Fall mit Zurücklegen ausgegangen werden kann. Andernfalls müßte der Standardfehler der Mittelwertdifferenz korrigiert werden.
  3. Falls Sie Änderungen an einzelnen Eingabefeldern dieses Formulars vornehmen, müssen Sie alle davon abhängigen Berechnungen durch Anklicken der entsprechenden Buttons aktualisieren, sonst beruht das Endergebnis auf falschen Zwischenrechnungen. Oder berechnen Sie das ganze Berechnungsschema neu, indem Sie auf diesen Button klicken:
  4. Mit dem folgenden Button können Sie alle Eingabefelder löschen:


© Hans-Jürgen Andreß 24. April 2003 StatHome