T-Test für Mittelwertunterschiede zwischen zwei unabhängigen Stichproben

Testvoraussetzungen: a) unabhängige Zufallsstichproben, b) Varianzhomogenität, c) Normalverteilung des untersuchten Merkmals in beiden Grundgesamtheiten (alternativ: große Stichproben, vgl. zentraler Grenzwertsatz), d) kleiner Auswahlsatz bzw. große Grundgesamtheiten (s. Anmerkung 2 unten).

Stichprobe

Bevor Sie mit dem Hypothesentest beginnen, tragen Sie die Auswertungsergebnisse für Ihre beiden Stichproben in die folgende Tabelle ein.

	Stichprobe 1	Stichprobe 2
Stichprobenumfang	n1 =	n2 =
Arithmetisches Mittel	y-quer1 =	y-quer2 =
Standardabweichung	s1 =	s2 =

Hypothesentest

1. Aufstellung von Null- und Alternativhypothese, Festlegung des Signifikanzniveaus
   • Nullhypothese H₀

     Welche Mittelwertdifferenz (μ₁-μ₂) wird zwischen den beiden Grundgesamtheiten 1 und 2 angenommen, aus denen die beiden Stichproben ausgewählt wurden?

     μ₁-μ₂ =   

   • Alternativhypothese H_A

     Welche alternative Annahme liegt für die Mittelwertdifferenz vor? Bitte kreuzen Sie die entsprechende Alternativhypothese an:
     
     

     zweiseitige HA	einseitige HA (links)	einseitige HA (rechts)
     μ1-μ2 ≠	μ1-μ2 <	μ1-μ2 >

     Anmerkung: Im Falle einer einseitigen Alternativhypothese muß als Nullhypothese auch eine Bereichshypothese spezifiziert werden (z.B. bei rechtsseitiger H_A lautet H₀: μ₁-μ₂ ≤ o.g. Wert), damit der gesamte Wertebereich der Prüfgröße durch Null- und Alternativhypothese abgedeckt wird. Die Testverteilung wird gleichwohl an der oben unter H₀ spezifizierten Stelle aufgesetzt.

   • Irrtumswahrscheinlichkeit

     Wie groß soll die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art sein?

     Irrtumswahrscheinlichkeit α =    

2. Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung ihrer Testverteilung

   Die Prüfgröße T berechnet sich wie folgt:

   

   Die Prüfgröße ist T-verteilt mit df = (n₁ + n₂ - 2) Freiheitsgraden. In der Formel entspricht dem Standardfehler der Mittelwertdifferenz, der sich wie folgt berechnet:

   

3. Bestimmung des kritischen Wertes t_c und des Ablehnungsbereichs

   Zur Berechnung des kritischen Wertes wird auf die T-Verteilung mit df = (n₁ + n₂ - 2) Freiheitsgraden zurückgegriffen, und zwar nach folgenden Regeln:

   • zweiseitige H_A: W(T ≤ t_c^u) = α/2 bzw. W(T ≤ t_c^o) = 1-α/2
   • einseitige H_A (links): W(T ≤ t_c^u) = α
   • einseitige H_A (rechts): W(T ≤ t_c^o) = 1-α

   Klicken Sie auf den entsprechenden Button, der zu der von Ihnen gewählten Alternativhypothese paßt. Der kritische Wert t_c gehört jeweils noch zum Annahmebereich.
   
   

   Ablehnungsbereich für zweiseitige HA	Ablehnungsbereich für einseitige HA (links)	Ablehnungsbereich für einseitige HA (rechts)
   von -∞ bis tcu = und von tc o = bis +∞	von -∞ bis tcu =	von tco = bis +∞

   Anmerkung: Statt den kritischen Wert t_c mit diesem Formular zu berechnen, können Sie ihn natürlich auch in einer Tabelle der T-Verteilung nachschauen.

4. Bestimmung der Prüfgröße T für die beiden Stichproben

   Nach der unter Schritt 2 angegebenen Formel der Wert der Prüfgröße in der Stichprobe: t = .

5. Entscheidung und Interpretation

   Wenn der für die Stichprobe berechnete Wert der Prüfgröße in den jeweiligen Ablehnungsbereich fällt, wird die Nullhypothese mit der o.g. Irrtumswahrscheinlichkeit verworfen. Andernfalls wird die Nullhypothese angenommen.

Implizite Signifikanz der Prüfgröße

Die Wahrscheinlichkeit, daß ein größerer als der in Schritt 4 berechnete Wert der Prüfgröße auftritt, : W(T>t) = .

Anhand dieser Überschreitungswahrscheinlichkeit (auch implizite Signifikanz genannt) kann man ebenfalls den Hypothesentest entscheiden. Allerdings ist zu beachten, ob man eine einseitige oder eine zweiseitige Alternativhypothese verwendet.

Anmerkungen

1. Benutzen Sie bei der Eingabe einer Dezimalzahl einen Dezimalpunkt statt eines Dezimalkommas.
2. Bei allen Berechnungen wird davon ausgegangen, daß der Auswahlsatz der Stichproben so klein ist (n/N < 0,05), daß näherungsweise vom Fall mit Zurücklegen ausgegangen werden kann. Andernfalls müßte der Standardfehler der Mittelwertdifferenz korrigiert werden.
3. Falls Sie Änderungen an einzelnen Eingabefeldern dieses Formulars vornehmen, müssen Sie alle davon abhängigen Berechnungen durch Anklicken der entsprechenden Buttons aktualisieren, sonst beruht das Endergebnis auf falschen Zwischenrechnungen. Oder berechnen Sie das ganze Berechnungsschema neu, indem Sie auf diesen Button klicken:
4. Mit dem folgenden Button können Sie alle Eingabefelder löschen: