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Standardfehler

Der Standardfehler (engl.: standard error) ist ein Maß für die Streuung einer Stichprobenstatistik über alle möglichen »Zufallsstichproben« vom Umfang n aus der »Grundgesamtheit«. Vereinfachend gesagt: Er ist ein Maß für die $ \dq$durchschnittliche$ \dq$ Größe des »Stichprobenfehlers« der Stichprobenstatistik (z.B. des arithmetischen Mittels oder des Anteilswertes). Der Standardfehler einer Stichprobenstatistik hängt von verschiedenen Faktoren ab, je nachdem, um welche Statistik es sich handelt. Ganz allgemein kann man jedoch sagen, daß ein Standardfehler um so kleiner wird, je größer der Stichprobenumfang ist. Größere Zufallsstichproben erlauben präzisere Schätzungen, weil der Stichprobenfehler kleiner wird.

Beispiele: Der Standardfehler des arithmetischen Mittels ergibt sich aus der Standardabweichung $ \sigma $ des Merkmals in der Grundgesamtheit und dem Stichprobenumfang $ n$ wie folgt: $ \sigma /\sqrt n$. Der Standardfehler eines Anteilswertes ergibt sich aus dem Anteilswert $ \theta$ in der Grundgesamtheit und dem Stichprobenumfang $ n$ wie folgt: $ \sqrt {\theta\cdot(1-\theta)/n}$. Der Standardfehler eines Regressionskoeffizienten im bivariaten Regressionsmodell ergibt sich aus der Standardabweichung $ \sigma _{u}$ der Störterme in der Grundgesamtheit, der Standardabweichung der unabhängigen Variablen $ \sigma _{x}$ in der Grundgesamtheit und dem Stichprobenumfang $ n$ wie folgt: $ \sigma _{u}/(\sigma _{x} \sqrt {n-1})$. Der Standardfehler eines Korrelationskoeffizienten ergibt sich wie folgt aus dem Stichprobenumfang $ n$ und der Korrelation $ \rho$ in der Grundgesamtheit selbst: $ (1-\rho^{2})/\sqrt {n-1}$. Alle Formeln ergeben um so kleinere Werte, je größer der Stichprobenumfang $ n$ ist.

In der Regel sind die Parameter der Grundgesamtheit (in den Beispielen $ \sigma $, $ \theta$, $ \sigma _{u}$, $ \sigma _{x}$, $ \rho$), die zur Berechnung des jeweiligen Standardfehlers notwendig sind, unbekannt, so daß sie wiederum auf Grund der Informationen in der Stichprobe geschätzt werden müssen. Verwendet man diese Schätzwerte in den Formeln, so spricht man von einem geschätzten Standardfehler.

Notation: Abgekürzt wird der Standardfehler durch den griechischen Buchstaben $ \sigma $ (sigma), wobei die entsprechende Stichprobenstatistik, deren Standardfehler berechnet wird, im Index genannt wird (z.B. Standardfehler des Anteilswertes: $ \sigma _{p}$). Handelt es sich um einen geschätzten Standardfehler, wird $ \sigma $ mit einem Dach versehen: z.B. $ \hat \sigma _{p}$.


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HJA 2001-10-01